Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．

（1）求证：∠1=∠BAD；
（2）求证：BE是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵BD=BA，

∴∠BDA=∠BAD，

∵∠1=∠BDA，

∴∠1=∠BAD；

（2）

证明：连接BO，

∵∠ABC=90°，

又∵∠BAD+∠BCD=180°，

∴∠BCO+∠BCD=180°，

∵OB=OC，

∴∠BCO=∠CBO，

∴∠CBO+∠BCD=180°，

∴OB∥DE，

∵BE⊥DE，

∴EB⊥OB，

∵OB是⊙O的半径，

∴BE是⊙O的切线．

【解析】（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得出即可；（2）连接BO，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可；本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
【考点精析】本题主要考查了圆周角定理和三角形的外接圆与外心的相关知识点，需要掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心才能正确解答此题．