Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+4x+4a（0＜a＜2）

（1）当C1与x轴有唯一一个交点时，求此时C1的解析式；
（2）如图①，若A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）三点均在C1上，连BC作AE∥BC交抛物线C1于E，求点E到y轴的距离；
（3）若a=1，将抛物线C1先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到抛物线C2 ， 如图②，抛物线C2与x轴相交于点M、N（M点在N点的左边），抛物线的对称轴交x轴于点F，过点F的直线l与抛物线C2相交于P，Q（P在第四象限）且S△FMQ=2S△FNP ， 求直线l的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根据题意得△=42﹣4a4a=0，解得a1=1，a2=﹣1，

而0＜a＜2，

所以a=1，

所以此时C1的解析式为y=x2+4x+4；

（2）

解：根据题意得A（1，5a+4），B（0，4a），C（﹣1，5a﹣4），

设直线BC的解析式为y=kx+4a，

把C（﹣1，5a﹣4）代入得﹣k+4a=5a﹣4，解得k=4﹣a，

∴直线BC的解析式为y=（4﹣a）x+4a，

∵BC∥AE，

∴AE的解析式可设为y=（4﹣a）x+n，

把A（1，5a+4）代入得4﹣a+n=5a+4，解得n=6a，

∴直线AE的解析式为y=（4﹣a）x+6a，

方程组 消去y得x2+x﹣2=0，解得x1=1，x2=﹣2，

∴E点的横坐标为﹣2，

∴点E到y轴的距离为2；

（3）

解：作QA⊥x轴于A，PB⊥x轴于B，如图，

当a=1时，y=x2+4x+4=（x+2）2，抛物线C1的顶点坐标为（﹣2，0），把点（﹣2，0）先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到对应点的坐标为（1，﹣2），

所以抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）2﹣2，即y=x2﹣2x﹣1，则抛物线的对称轴为直线x=1，所以F（1，0）

∵抛物线C2与x轴相交于点M、N（M点在N点的左边），

∴FM=FN，

∵S△FMQ=2S△FNP，

∴QA=2PB，

∵AQ∥PB，

∴ =2，即FA=2BF，

设P（t，t2﹣2t﹣1），则BF=t﹣1，

∴AF=2（t﹣1），

∴OA=2（t﹣1）﹣1=2t﹣3，

∴Q[3﹣2t，（3﹣2t）2﹣2（3﹣2t）﹣1]

∴（3﹣2t）2﹣2（3﹣2t）﹣1=﹣2（t2﹣2t﹣1），

整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，

∴P（2，﹣1），Q（﹣1，2），

设直线PQ的解析式为y=px+q，

把P（2，﹣1），Q（﹣1，2）代入得 ，解得 ，

∴直线l的解析式为y=﹣x+1．

【解析】（1）根据△的意义和抛物线与x轴的交点问题得△=42﹣4a4a=0，然后解方程求出满足条件的a的值，从而得到此时C1的解析式；（2）先用a表示出A（1，5a+4），B（0，4a），C（﹣1，5a﹣4），再利用待定系数法得到直线BC的解析式为y=（4﹣a）x+4a，根据两直线平行问题，AE的解析式可设为y=（4﹣a）x+n，则把A（1，5a+4）代入得n=6a，所以直线AE的解析式为y=（4﹣a）x+6a，通过解方程组 可得E点和A点坐标，消去y得x2+x﹣2=0，然后解方程求出x即可得到E点的横坐标，从而得到点E到y轴的距离；（3）作QA⊥x轴于A，PB⊥x轴于B，如图，当a=1时，y=（x+2）2 ， 则抛物线C1的顶点坐标为（﹣2，0），利用抛物线的几何变换得到抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）2﹣2，即y=x2﹣2x﹣1，F（1，0），利用抛物线的对称性得FM=FN，再利用三角形面积公式可得QA=2PB，利用平行线分线段成比例定理得FA=2BF，设P（t，t2﹣2t﹣1），则BF=t﹣1，AF=2（t﹣1），则OA=2（t﹣1）﹣1=2t﹣3，所以Q[3﹣2t，（3﹣2t）2﹣2（3﹣2t）﹣1]，然后利用AQ=2PB得到（3﹣2t）2﹣2（3﹣2t）﹣1=﹣2（t2﹣2t﹣1），解得t1=0（舍去），t2=2，于是得到P（2，﹣1），Q（﹣1，2），最后利用待定系数法确定直线l的解析式．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点才能正确解答此题．