Question

【题目】对于二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4，把y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．
现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（-1，n），请完成下列任务：

（1）【尝试】
①当t=2时，抛物线E的顶点坐标是.
②点A抛物线E上；（填“在”或“不在”），
③n=.
（2）【发现】通过②和③的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，这个定点的坐标是.
（3）【应用1】二次函数y=-3x2+5x+2是二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．
（4）【应用2】以AB为一边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，若抛物线E经过点A、B、C，求出所有符合条件的t的值．

Answer 1

【答案】
（1）（1,-2）,在,6
（2）（2,0）、（-1,6）
（3）解：将x=2代入y=-3x2+5x+2，y=0，即点A在抛物线上．

将x=-1代入y=-3x2+5x+2，计算得：y=-6≠6，

即可得抛物线y=-3x2+5x+2不经过点B，

二次函数y=-3x2+5x+2不是二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”

（4）解：如图，作矩形ABC1D1和ABC2D2，过点B作BK⊥y轴于点K，过B作BM⊥x轴于点M，

易得AM=3，BM=6，BK=1，△KBC1∽△MBA，

则：

即

求得 C 1，K=

所以点C1（0， ）．

易知△KBC1≌△GAD1，得AG=1，GD1= ，

∴点D1（3， ）．

易知△OAD2∽△GAD1， ，

由AG=1，OA=2，GD1= ，

求得 OD2=1，

∴点D2（0，-1）．

易知△TBC2≌△OD2A，得TC2=AO=2，BT=OD2=1，

所以点C2（-3，5）．

∵抛物线E总过定点A（2，0）、B（-1，6），

∴符合条件的三点可能是A、B、C或A、B、D

当抛物线E经过A、B、C1时，将C1（0， ）代入y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4），求得t1=- ；

当抛物线E经过A、B、D1，A、B、C2，A、B、D2时，可分别求得t2= ，t3=- ，t4= ．

∴满足条件的所有t的值为：- ； ，- ，

【解析】解：（1）【尝试】①将t=2代入抛物线E中，得：y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=2x2-4x=2（x-1）2-2，

∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，-2）．

②将x=2代入y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得 y=0，

∴点A（2，0）在抛物线E上．

③将x=-1代入抛物线E的解析式中，得：

n=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=6．（2）【发现】将抛物线E的解析式展开，得：

y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=t（x-2）（x+1）-2x+4

∴抛物线E必过定点（2，0）、（-1，6）．