Question

【题目】两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，AB=25，CD=17．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜90°）角度，如图2所示．
（1）利用图2证明AC=BD且AC⊥BD；
（2）当BD与CD在同一直线上（如图3）时，求AC的长和α的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图2中，延长BD交OA于G，交AC于E．

∵∠AOB=∠COD=90°，

∴∠AOC=∠DOB，

在△AOC和△BOD中，

，

∴△AOC≌△BOD，

∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，

∵∠DBO+∠GOB=90°，

∵∠OGB=∠AGE，

∴∠CAO+∠AGE=90°，

∴∠AEG=90°，

∴BD⊥AC．

（2）解：如图3中，设AC=x，

∵BD、CD在同一直线上，BD⊥AC，

∴△ABC是直角三角形，

∴AC2+BC2=AB2，

∴x2+（x+17）2=252，

解得x=7，

∵∠ODC=∠α+∠DBO=45°，∠ABC+∠DBO=45°，

∴∠α=∠ABC，

∴sinα=sin∠ABC= =

【解析】（1）如图2中，延长BD交OA于G，交AC于E，只要证明△AOC≌△BOD即可解决问题．（2）如图3中，设AC=x，在RT△ABC中，利用勾股定理求出x，再根据sinα=sin∠ABC= 即可解决问题．