Question

【题目】如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．

（1）求直线BD和抛物线的解析式．
（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴A（﹣1，0），B（0，3）；

∵把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，∴C（1，0）．

设直线BD的解析式为：y=kx+b，

∵点B（0，3），D（3，0）在直线BD上，

∴ ，

解得k=﹣1，b=3，

∴直线BD的解析式为：y=﹣x+3．

设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3），

∵点B（0，3）在抛物线上，

∴3=a×（﹣1）×（﹣3），

解得：a=1，

∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3

（2）解：抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）．

直线BD：y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M，令x=2，得y=1，

∴M（2，1）．

设对称轴与x轴交点为点F，则CF=FD=MF=1，

∴△MCD为等腰直角三角形．

∵以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，

∴△BND为等腰直角三角形．

如答图1所示：

（I）若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O，

∴N1（0，0）；

（II）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上，

∵OB=OD=ON2=3，

∴N2（﹣3，0）；

（III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，

∵OB=OD=ON3=3，

∴N3（0，﹣3）．

∴满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）

（3）解：方法一：

假设存在点P，使S△PBD=6，设点P坐标为（m，n）．

（I）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示：

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=n，DE=m﹣3．

S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE= （3+n）m﹣ ×3×3﹣ （m﹣3）n=6，

化简得：m+n="7" ①，

∵P（m，n）在抛物线上，

∴n=m2﹣4m+3，

代入①式整理得：m2﹣3m﹣4=0，

解得：m1=4，m2=﹣1，

∴n1=3，n2=8，

∴P1（4，3），P2（﹣1，8）；

（II）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示：

过点P作PE⊥y轴于点E，则PE=m，OE=﹣n，BE=3﹣n．

S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE= （3+m）（﹣n）+ ×3×3﹣ （3﹣n）m=6，

化简得：m+n=﹣1 ②，

∵P（m，n）在抛物线上，

∴n=m2﹣4m+3，

代入②式整理得：m2﹣3m+4=0，△=﹣7＜0，此方程无解．

故此时点P不存在．

综上所述，在抛物线上存在点P，使S△PBD=6，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．

方法二：

假设存在点P，使S△PBD=6，

过点P作直线l平行BD，则l与BD的距离为d，

∵BD= =3 ，

∴S△PBD= BD×d，

∴d=2 ，

∵BD与y轴夹角为45°，

∴BB′=4，

∴将BD上移或下移4个单位，

①上移4个单位，l解析式为：y=﹣x+7，

∵y=x2﹣4x+3，

∴x2﹣3x﹣4=0，

∴x1=4，x2=﹣1，

②下移4个单位，l解析式为y=﹣x﹣1，

∵y=x2﹣4x+3，

∴x2﹣3x+4=0，△＜0，∴此方程无解，

综上所述，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）

【解析】（1）由题意得到A、B的坐标，由△AOB沿y轴翻折，得到C点坐标，由B、D点坐标求出直线BD的解析式；由点B坐标得到二次函数解析式；（2）由抛物线的解析式，得到顶点坐标，由已知条件得到△MCD为等腰直角三角形，由点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，得到△BND为等腰直角三角形，（I）若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O，得到点N的坐标；（II）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上，得到点N的坐标；（III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，得到点N的坐标；（3）（I）当点P位于直线BD上方时，求出S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE的值，得到点P的坐标；（II）当点P位于直线BD下方时，求出S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE的值，得到此时点P不存在；此题是综合题，难度较大，计算和解方程时需认真仔细.