Question

【题目】已知：如图，Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB中点．

（1）若两个直角三角形的直角顶点在AB的异侧（如图1），连接CD，取CD中点F，连接EF、DE、CE，则DE与CE数量关系为 ，EF与CD位置关系为 ；

（2）若两个直角三角形的直角顶点在AB的同侧（如图2），连接CD、DE、CE．

①若∠CAB＝25°，∠DBA＝35°，判断△DEC的形状，并说明理由；

②若∠CAB+∠DBA＝，当为多少度时，△DEC为等腰直角三角形，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①等边三角形，见解析；②45°，理由见解析；

【解析】

（1）根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半即可得到DE=CE，再根据等腰三角形的三线合一的性质即可得到EF⊥CD；

（2）①先根据直角三角形的性质得到△DEC是等腰三角形，再利用外角的性质得到，，根据平角的定义求出∠DEC，即可得到结论；

②由①得，DE=EC，再根据等腰直角三角形的性质求出答案.

（1）DE=CE，EF⊥CD，

∵△ABD和△ABC是直角三角形，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB中点，

∴DE=AB，CE=AB，

∴DE=CE，

∵点F是CD的中点,

∴EF⊥CD；

（2）①△DEC等边三角形，

在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB中点，

∴，

∴△DEC是等腰三角形，

∵， ，

且∠DEA、∠CEB分别是△DEB、△AEC的外角，

∴，

，

∴，

∴△DEC是等边三角形；

②由①得DE=EC,

，

∵△DEC是等腰直角三角形， ，

∴，

∴，

∴当为45度时，△DEC为等腰直角三角形.