【题目】如图，在直角中，已知，边的垂直平分线交于点，交于点，且，，则的长是________．

参考答案：

【答案】8

【解析】

根据直角三角形两锐角互余求得∠B的度数，利用线段垂直平分线的性质得AD=BD，利用等腰三角形的性质得∠DAE=∠B=15°，再利用外角的性质得∠ADC=30°，在三角形ADC中求出AD的长即可求得答案.

∵∠C=90°，∠BAC=75°，

∴∠B=90°-75°=15°，

∵AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D，，

∴AD=BD，

∴∠DAE=∠B=15°，

∴∠ADC=∠DAB+∠B=30°，

∴AC=AD，

在Rt△ADC中，∠C=90°，由勾股定理得AD2=AC2+CD2，

即AD2=(AD)2+()2，

解得：AD=8，

∴BD=8，

故答案为：8.

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