Question

【题目】将正方形ABCD放在如图所示的直角坐标系中,A点的坐标为(4,0),N点的坐标为(3,0)，MN平行于y轴，E是BC的中点，现将纸片折叠，使点C落在MN上，折痕为直线EF.

(1)求点G的坐标；

(2)求直线EF的解析式；

(3)设点P为直线EF上一点，是否存在这样的点P，使以P, F, G的三角形是等腰三角形?若存在，直接写出P点的坐标;若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）G点的坐标为：（3，4-）；（2）EF的解析式为：y=x+4-2；（3）P1（1，4-）、P2（，7-2），P3（-，2-1）、P4（3，4+）

【解析】分析：（1）点G的横坐标与点N的横坐标相同，易得EM为BC的一半减去1，为1，EG=CE=2，利用勾股定理可得MG的长度，4减MG的长度即为点G的纵坐标；

（2）由△EMG的各边长可得∠MEG的度数为60°，进而可求得∠CEF的度数，利用相应的三角函数可求得CF长，4减去CF长即为点F的纵坐标，设出直线解析式，把E，F坐标代入即可求得相应的解析式；

（3）以点F为圆心，FG为半径画弧，交直线EF于两点；以点G为圆心，FG为半径画弧，交直线EF于一点；做FG的垂直平分线交直线EF于一点，根据线段的长度和与坐标轴的夹角可得相应坐标．

详解：（1）易得EM=1，CE=2，

∵EG=CE=2，

∴MG=，

∴GN=4-；

G点的坐标为：（3，4-）；

（2）易得∠MEG的度数为60°，

∵∠CEF=∠FEG，

∴∠CEF=60°，

∴CF=2，

∴OF=4-2，

∴点F（0，4-2）．

设EF的解析式为y=kx+4-2，

易得点E的坐标为（2，4），

把点E的坐标代入可得k=，

∴EF的解析式为：y=x+4-2．

（3）P1（1，4-）、P2（，7-2），

P3（-，2-1）、P4（3，4+）