【题目】如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（4，6）．双曲线y= （x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．

（1）求k的值及点E的坐标；
（2）若点F是边上一点，且△BCF∽△EBD，求直线FB的解析式．

参考答案：

【答案】
（1）

解：在矩形OABC中，

∵B（4，6），

∴BC边中点D的坐标为（2，6），

∵又曲线y= 的图象经过点（2，6），

∴k=12，

∵E点在AB上，

∴E点的横坐标为4，

∵y= 经过点E，

∴E点纵坐标为3，

∴E点坐标为（4，3）


（2）

解：由（1）得，BD=2，BE=3，BC=4，

∵△FBC∽△DEB，

∴ = ，即 = ，

∴CF= ，

∴OF= ，即点F的坐标为（0， ），

设直线FB的解析式为y=kx+b，而直线FB经过B（4，6），F（0， ），

∴ ，解得 ，

∴直线BF的解析式为y= x+


【解析】（1）由条件可先求得点D的坐标，代入反比例函数可求得k的值，又由点E的位置可求得E点的横坐标，代入可求得E点坐标；（2）由相似三角形的性质可求得CF的长，可求得OF，则可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线FB的解析式．
【考点精析】本题主要考查了反比例函数的图象和反比例函数的性质的相关知识点，需要掌握反比例函数的图像属于双曲线．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．有两条对称轴：直线y=x和 y=-x．对称中心是：原点；性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大才能正确解答此题．

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