Question

【题目】（1）如图1，在四边形ABCD中，F、E分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD；（提示取BD的中点H，连结FH，HE作辅助线）

（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）OE=.

【解析】

（1）连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH，证明出EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，证出HE=HF，进而证出AB=CD；
（2）连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，证明出HO=HE，可证明证出△OEH是等边三角形，进而求出OE=.

（1） 证明：如图一，连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH.

∵E、F分别是AD、BC的中点，

∴EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，

∵∠BME=∠CNE，

∴∠HEF=∠HFE，

∴HE=HF，

∴AB=CD；

（2） 如图二，连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，

∵AB=CD，HE为△ABD的中位线，HO为△BCD的中位线，

∴HO=HE=AB=CD，，

∴∠HOE=∠HEO，

∵OH∥AC，∠OEC=60°，

∴∠OEH=∠HOE=∠OEC=60°，

∴△OEH是等边三角形，

∵AB=DC=5，

∴OE=.

故答案为：（1）证明见解析；（2）OE=.