Question

【题目】如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．

（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？
（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB ， BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：四边形APQD为平行四边形；

（2）解：OA=OP，OA⊥OP，理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，

∵OQ⊥BD，

∴∠PQO=45°，

∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，

∴OB=OQ，

在△AOB和△OPQ中，

∴△AOB≌△POQ（SAS），

∴OA=OP，∠AOB=∠POQ，

∴∠AOP=∠BOQ=90°，

∴OA⊥OP；

（3）解：如图，过O作OE⊥BC于E．

①如图1，当P点在B点右侧时，

则BQ=x+2，OE= ，

∴y= × x，即y= （x+1）2﹣ ，

又∵0≤x≤2，

∴当x=2时，y有最大值为2；

②如图2，当P点在B点左侧时，

则BQ=2﹣x，OE= ，

∴y= × x，即y=﹣ （x﹣1）2+ ，

又∵0≤x≤2，

∴当x=1时，y有最大值为 ；

综上所述，∴当x=2时，y有最大值为2；

【解析】（1）根据平移的性质，可得PQ∥AD且PQ=AD，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行证明即可；
（2）先证明△BOQ为等腰直角三角形，从而可得到∠OQP=∠ABO，由平移的性质和正方形的性质可得到PQ=AB，然后依据SAS可证明△AOB≌△POQ，根据全等三角形的判定与性质，可得AO与OP的数量关系，根据余角的性质，可得AO与OP的位置关系；
（3）根据等腰直角三角形的性质，可得OE的长，根据三角形的面积公式可得到y与x的二次函数关系式，最后，根据二次函数的性质求解即可.