Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知点，与坐标原点O在同一直线上，且AO=BO，其中m，n满足．

（1）求点A，B的坐标；

（2）如图1，若点M，P分别是x轴正半轴和y轴正半轴上的点，点P的纵坐标不等于2，点N在第一象限内，且，PA⊥PN，，求证：BM⊥MN；

（3）如图2，作AC⊥y轴于点C，AD⊥x轴于点D，在CA延长线上取一点E，使，连结BE交AD于点F，恰好有，点G是CB上一点，且，连结FG，求证：．

Answer 1

【答案】（1）A点坐标为（-1,1）,B点坐标为（1，-1）；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

（1）将关于m、n的关系式进行变形，成为连个完全平方式的和，解出m和n的值，即可得到A、B的坐标.

（2）求证两线段垂直，可以通过将两直线所成的角进行拆分，然后计算各个角相加的和，本题通过在x轴负半轴取点Q，OQ=OM,连接QA,QP,PM,然后根据题干中条件和辅助线条件求证 △PQA≌△PMN，得出PQ=PM，再继续求证△PQA≌△PMN，得到△QPM为等腰直角三角形，得出角PQM=45°，再根据等量代换，求∠NMP、∠OMB、∠QMP之和即可.

（3）要求证，只需证两边所在三角形全等即可，即求证△EFH≌△FBG.根据点的坐标特征和等量代换关系得出,然后求证，根据三角形全等的性质得到和等量代换得到∠FBG=∠EHF，最后根据三角形全等的判定方法证明△EFH≌△FBG即可解决.

（1）解：∵

∴

即

∴

解得：

∵，

∴A点坐标为（-1,1）,B点坐标为（1，-1）

（2）证明：

如图，在x轴负半轴取点Q，OQ=OM,连接QA,QP,PM,

∵AO=BO,∠AOQ=∠BOM

∴△AOQ≌△BOM（SAS）

∠AQO=∠BMO

∴AQ=BM=MN,

又∵OQ=OM,PO⊥QM

∴PQ=PM,

又∵PA=PN

∴△PQA≌△PMN（SSS）

∴∠QPA=∠MPN，∠PQA=∠PMN

∴∠QPA+∠APM=∠MPN+∠APM=90°

∴△QPM为等腰直角三角形

∴∠PMQ=∠PQM=45°，

∵∠PQA=∠NMP，∠AQO=∠OMB

∴∠PQA+∠AQO=∠NMP+∠OMB=∠PQM=45°

∴∠NMP+∠OMB+∠QMP=90°.

∴BM⊥MN

（3）证明：过B作BH⊥AF交AF延长线于H，连接EH，如图：

∵点A的坐标为（-1,1），点B的坐标为（1，-1）

∴H点的坐标为（-1，-1）

∴

又∵CG=1，

∵AC⊥y轴，AD⊥x轴，BH⊥AH

∴∠FHB=∠EAH，

∠EHA=∠FBH

∵AE=BG,AC=CG，

∴CE=CB

∴∠CEB=∠CBE

又∵∠HBE=∠CEB

∴∠HBE=∠EBC

∴∠FBG=∠EHF

在△EFH和△FBG中

∴△EFH≌△FBG