Question

【题目】已知△ABC是等边三角形，点D在BC边上，点E在AB的延长线上，将DE绕D点顺时针旋转120°得到DF．

（1）如图1，若点F恰好落在AC边上，求证：点D是BC的中点；

（2）如图2，在（1）的条件下，若=45°，连接AD，求证：；

（3）如图3，若，连CF，当CF取最小值时，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）3.

【解析】

（1）要证明D是线段的中点，最常见的作法是证明两线段所在三角形全等，过点D作DH⊥AB,DG⊥AC，构建出线段所在的三角形，然后根据四边形内角和，确定相等的角，根据旋转的性质确定相等的边，求，根据三角形全等的性质，得到条件进而求证解决.

（2）设出CG为x，根据等边三角形的性质和直角三角形中锐角三角函数，将BE、CF、AD的边分别用x表示出来，进而求证即可.

（3）延长DB至点K，使BK=BE，过点D作DQ∥AB且DQ=AB,连接AQ，根据平行线的性质和等边三角形的性质，证明△DEK≌DFQ，得出∠FQD=60°，FQ所在直线即为F的轨迹，然后根据直角三角形中边角关系，判断出CD与PD的关系，然后确定PD与CQ的关系，最后确定的值即可.

解：(1) 过点D作DH⊥AB,DG⊥AC，如图：

∵△ABC是等边三角形

∴∠ A=∠ C=∠ ABC=60°

∵∠EDF=120°，

故D为BC的中点

（2）证明：

∵△ABC为等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°

设CG为m，

在Rt△CGD中，

在Rt△FGD中,

∵∠DFG=45°

∴DG=GF=

∴CF=CG+GF=

∵D是BC的中点

∴BD=CD=2m

在Rt△BDH中，

BH=BD×cos60°=2m×=m

∵DF是由DE旋转得到

∴DE=DF=

在Rt△EDH中，

BE=EH-BH=-m=

∴CF+BE=+

在Rt△ADC中，

AD=CD×tan60°=2m×=

∴CF+BE=AD

（3）解：

延长DB至点K，使BK=BE

过点D作DQ∥AB且DQ=AB,连接AQ

∵BE=CD，BE=BK

∴BK=CD

∴BC=BD+CD=BD+BK=DK

∵△ABC是等边三角形

∴AB=BC=AC

∵DQ=AB,

∴DK=DQ

∵DQ∥AB

∠BDQ+∠ABC=120°

∵∠BDF=120°

∴∠EDB=∠FDQ

在△DEK和DFQ中

∴△DEK≌DFQ（SAS）

∴∠FQD=∠K

∵△ABC为等边三角形

∴∠ABC=60°

又∵BK=NE,∠KBE=∠ABC=60°

∴∠K=∠BEK=60°

∠FQD=∠K=60°

∴F的轨迹为直线FQ,

∴当CF⊥FQ时，CF最小，此时DQ与CF相交于点P,

在Rt△PFQ中，

∵∠FPQ=90°-60°

∴PQ=2FQ

∵∠BDQ=120°，

∴∠PDC=60°，

在△FQP和△CDP中，

∴△FQP≌△CDP（AAS）

∴PQ=PD

在Rt△PDC中，

∵∠PDC=∠PQF=60°

∴

PQ=2CD

∴DQ=4CD

∴KD=4CD

又∵KB=CD

∴