Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（ ）
A.
B.
C.
D. ﹣2

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2， ∴AM=AN=2，BM=DN=4，
连接MN，连接AC，

∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°
在Rt△ABC与Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠BAC=∠DAC= ∠BAD=30°，MC=NC，
∴BC= AC，
∴AC2=BC2+AB2 ， 即（2BC）2=BC2+AB2 ，
3BC2=AB2 ，
∴BC=2 ，
在Rt△BMC中，CM= = =2 ．
∵AN=AM，∠MAN=60°，
∴△MAN是等边三角形，
∴MN=AM=AN=2，
过M点作ME⊥CN于E，设NE=x，则CE=2 ﹣x，
∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2 ， 即4﹣x2=（2 ）2﹣（2 ﹣x）2 ，
解得：x= ，
∴EC=2 ﹣ = ，
∴ME= = ，
∴tan∠MCN= =
故选：A．
【考点精析】本题主要考查了三角形的面积和角平分线的性质定理的相关知识点，需要掌握三角形的面积=1/2×底×高；定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上才能正确解答此题．