Question

【题目】如图（1），点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM．

（1）证明：①CN=DM；②CN⊥DM；

（2）设CN、DM的交点为H，连接BH，如图（2），求证：△BCH是等腰三角形．

Answer 1

【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、证明过程见解析

【解析】

试题分析：(1)、利用正方形的性质可求证△ADM≌△DCN，所以CN=DM，∠ADM=∠DCN，∠ADM+∠CDM=∠DCN+∠CDM=90°，即可求证∠CHD=90°；(2)、连接CM，易证M、B、C、H四点共圆，所以∠BMC=∠BHC，证明△AMD≌△BCM，即可求证∠BHC=∠BCH

试题解析：(1)、由题意知：AD=CD， ∵M、N分别是AB和AD的中点， ∴AM=DN，

在△ADM与△DCN中，， ∴△ADM≌△DCN（SAS）， ∴DM=CN，∠ADM=∠DCN，

∴∠DCN+∠CDM=∠ADM+∠CDM=90°， ∴∠CHD=90°， ∴CN⊥DM；

(2)、连接CM， 由（1）可知：∠AMD=90°﹣∠ADM， ∠BCH=90°﹣∠DCN， ∴∠AMD=∠BCH，

∴M、B、C、H四点共圆， ∴∠BMC=∠BHC，

在△BCM与△ADM中，， ∴△BCM≌△ADM（SAS）， ∴∠BMC=∠AMD，

∴∠BHC=∠AMD=∠BCH， ∴△BCH是等腰三角形