Question

【题目】有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y= x与y= （k≠0）的图象性质．
小明根据学习函数的经验，对函数y= x与y= ，当k＞0时的图象性质进行了探究．
下面是小明的探究过程：

（1）如图所示，设函数y= x与y= 图象的交点为A，B，已知A点的坐标为（﹣k，﹣1），则B点的坐标为；
（2）若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点．
①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N．求证：PM=PN．
证明过程如下，设P（m， ），直线PA的解析式为y=ax+b（a≠0）．
则 ，
解得
∴直线PA的解析式为
请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．
②当P点坐标为（1，k）（k≠1）时，判断△PAB的形状，并用k表示出△PAB的面积．

Answer 1

【答案】
（1）（k，1）
（2）

②解：由①可知，在△PMN中，PM=PN，

∴△PMN为等腰三角形，且MH=HN=k．

当P点坐标为（1，k）时，PH=k，

∴MH=HN=PH，

∴∠PMH=∠MPH=45°，∠PNH=∠NPH=45°，

∴∠MPN=90°，即∠APB=90°，

∴△PAB为直角三角形．

当k＞1时，如图1，

S△PAB=S△PMN﹣S△OBN+S△OAM，

= MNPH﹣ ONyB+ OM|yA|，

= ×2k×k﹣ （k+1）×1+ （k﹣1）×1，

=k2﹣1；

当0＜k＜1时，如图2，

S△PAB=S△OBN﹣S△PMN+S△OAM，

= ONyB﹣k2+ OM|yA|，

= （k+1）×1﹣k2+ （1﹣k）×1，

=1﹣k2

【解析】解：（1）由正、反比例函数图象的对称性可知，点A、B关于原点O对称，
∵A点的坐标为（﹣k，﹣1），
∴B点的坐标为（k，1）．
所以答案是：（k，1）．
2）①证明过程如下，设P（m， ），直线PA的解析式为y=ax+b（a≠0）．
则 ，
解得： ，
∴直线PA的解析式为y= x+ ﹣1．
当y=0时，x=m﹣k，
∴M点的坐标为（m﹣k，0）．
过点P作PH⊥x轴于H，如图1所示，
∵P点坐标为（m， ），
∴H点的坐标为（m，0），
∴MH=xH﹣xM=m﹣（m﹣k）=k．
同理可得：HN=k．
∴MH=HN，
∴PM=PN．
所以答案是： ；y= x+ ﹣1．
【考点精析】解答此题的关键在于理解反比例函数的图象的相关知识，掌握反比例函数的图像属于双曲线．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．有两条对称轴：直线y=x和 y=-x．对称中心是：原点，以及对反比例函数的性质的理解，了解性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大．