Question

【题目】如图，线段AB ， AD交于点A ． C为直线AD上一点（不与点A ， D重合）．过点C在BC的右侧作射线CE⊥BC ， 过点D作直线DF∥AB ， 交CE于点G（G与D不重合）．

（1）如图1，若点C在线段AD上，且∠BCA为钝角．①按要求补全图形；②判断∠B与∠CGD的数量关系，并证明．
（2）若点C在线段DA的延长线上，请直接写出∠B与∠CGD的数量关系；
（3）请你结合本题的题意提出一个新的拓展问题 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①补全图形如图

②判断：∠CGD-∠B=90°．

证明 ：过点C作CH∥AB，

∴ ∠1=∠B（两直线平行，内错角相等）．

∵ AB∥DF（已知），

∴ CH∥DF（平行于同一直线的两直线平行）．

∴ ∠2+∠HCG=180°（两直线平行，同旁内角互补） ．

∵ CE⊥BC（已知），

∴ ∠1+∠HCG=90°（垂直的定义）．

∴ ∠CGD-∠B=90°

（2）∠CGD+∠B=90°
（3）若点C在线段AD的延长线上，∠B与∠CGD的数量关系是否会发生变化？
若点C在线段AD的延长线上，∠B与∠CGD的数量关系是否会发生变化？
若点C在线段AD上，且∠BCA为锐角时，（1）中的结论还成立吗？
【解析】(1)①补全图形见解析；②先作辅助线，由∠2+∠HCG=180°和∠1+∠HCG=90°，推出结论∠CGD-∠B=90°即可；
(2)由（1）中②的结论可推导出结论∠CGD+∠B=90°. 附加题见解析.
(3)1.若点C在线段AD的延长线上，∠B与∠CGD的数量关系是否会发生变化？
2．若点C在线段AD上，且∠BCA为锐角时，（1）中的结论还成立吗？
【考点精析】本题主要考查了垂线的性质和平行线的判定与性质的相关知识点，需要掌握垂线的性质：1、过一点有且只有一条直线与己知直线垂直．2、垂线段最短；由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质才能正确解答此题．