Question

【题目】已知△ABC中，AB=AC．

（1）如图1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求证：CD=BE；

（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的长；

（3）如图3，在△ADE中，当BD垂直平分AE于H，且∠BAC=2∠ADB时，试探究CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）5；（3）CD2=BD2+4AH2．证明见解析.

【解析】(1)、根据∠DAE=∠BAC得出∠DAC=∠BAE，结合已知条件得出△ACD和△ABE全等，从而得出答案；(2)、连接BE，根据中垂线的性质以及∠DAE=60°得出△ADE是等边三角形，根据△ABE和△ACD全等得出答案；(3)、过B作BF⊥BD，且BF=AE，连接DF，则四边形ABFE是平行四边形，设∠AEF=x，∠AED=y，则∠FED=x+y，然后证明△ACD和△EFD全等，得出CD=DF，然后根据BD2+BF2=DF2得出答案．

(1)、如图1，证明：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAE=∠BAC+∠CAE，

即∠DAC=∠BAE．∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD=BE；

(2)、连接BE，∵CD垂直平分AE∴AD=DE，∵∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，

∴∠CDA=∠ADE=×60°=30°，∵△ABE≌△ACD，

∴BE=CD=4，∠BEA=∠CDA=30°，∴BE⊥DE，DE=AD=3， ∴BD=5；

(3)、如图，过B作BF⊥BD，且BF=AE，连接DF，则四边形ABFE是平行四边形，

∴AB=EF，设∠AEF=x，∠AED=y，则∠FED=x+y，

∠BAE=180°﹣x，∠EAD=∠AED=y，∠BAC=2∠ADB=180°﹣2y，

∠CAD=360°﹣∠BAC﹣∠BAE﹣∠EAD=360°﹣（180°﹣2y）﹣（180°﹣x）﹣y=x+y，

∴∠FED=∠CAD，∴△ACD≌△EFD（SAS），∴CD=DF，

而BD2+BF2=DF2， ∴CD2=BD2+4AH2．