Question

【题目】如图，是等边三角形，，点是边上一点，点是线段上点，连接、．当，时，________．

Answer 1

【答案】2

【解析】

作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，利用等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，再证明∠ABH=∠CAH，则可根据“AAS”证明△ABE≌△CAH，所以BE=AH，AE=CH，在Rt△AHE中利用含30度的直角三角形的性质得到HE=AH，利用勾股定理得到AE=AH，则CH=AH，于是在Rt△AHC中利用勾股定理可计算出AH=2．

解：作AE⊥BH，交BH的延长线于E，作BF⊥AH交AH的延长线于F，如图，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60°，∠BAH+∠CAH=60°，

∴∠ABH=∠CAH，

在△ABE和△CAH中

，

∴△ABE≌△CAH，

∴BE=AH，AE=CH，

在Rt△AHE中，∠AHE=∠BHD=60°，

∴∠BAH=30°，

∴HE=AH，

∴AE=AH，

∴CH=AH，

在Rt△AHC中，AH2+(AH)2=AC2=72，

解得AH=2，

故答案为2．