Question

【题目】如图，点P是∠MON内的一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，且OA=OB．

（1）求证：PA=PB；

（2）如图②，点C是射线AM上一点，点D是线段OB上一点，且∠CPD+∠MON=180°，若OC=8，OD=5．求线段OA的长．

（3）如图③，若∠MON=60°，将PB绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，12秒后，PA开始绕点P以每秒10°的速度顺时针旋转，PA旋转270°后停止，此时PB也随之停止旋转．旋转过程中，PA所在直线与OM所在直线的交点记为G，PB所在直线与ON所在直线的交点记为H．问PB旋转几秒时，PG=PH？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）OA=6.5；（3）满足条件的t的值为15s或25s或37.5s．

【解析】

（1）如图1中，连接OP，证明Rt△OPA≌Rt△OPB（HL）即可解决问题．

（2）如图②中，想办法证明OC+OD=2OA即可解决问题．

（3）设点P的旋转时间为t秒．分四种情形①当0＜t＜12时，不存在．②当12≤t＜21时，如图3-1中．③当21≤t＜30时，如图3-2中．④当30≤t＜39时，如图3-3中，分别求解即可解决问题．

（1）证明：如图①中，连接OP．

∵PA⊥OM，PB⊥ON，

∴∠OAP=∠OBP=90°，

∵OA=OB，OP=OP，

∴Rt△OPA≌Rt△OPB（HL），

∴PA=PB．

（2）如图②中，

∵∠PAO=∠PBO=90°，

∴∠AOB+∠APB=180°，

∵∠CPD+∠AOB=180°，

∴∠CPD=∠APB，

∴∠APC=∠BPD，

∵PA=PB，∠PAC=∠PBD=90°，

∴△PAC≌△PBD（ASA），

∴AC=BD，

∴OC+OD=OA+AC+OB-BD=2OA=13，

∴OA=6.5．

（3）设点P的旋转时间为t秒．

①当0＜t＜12时，此时只有PB旋转，PA没有旋转，故不存在PG=PH．

②当PA旋转的度数为0°—90°时，时间t的取值为：12≤t＜21；

∴当12≤t＜21时，如图3-1中，∠APG=（10t-120）°，∠BPH=2t°，

当∠APG=∠BPH时，△PAG≌△PBH，可得PG=PH，

此时10t-120=2t，

∴t=15．

③当PA旋转的度数为90°—180°时，时间t的取值为：21≤t＜30，

∴当21≤t＜30时，如图3-2中，∠APG=180°-∠APA′=180°-（10t-120）°=（300-10t）°，∠BPH=2t，

当∠APG=∠BPH时，△PAG≌△PBH，可得PG=PH，

此时300-10t=2t，

∴t=25．

④当PA旋转的度数为180°—270°时，时间t的取值为：30≤t＜39；

当30≤t＜39时，如图3-3中，∠APG=（10t-300）°，∠BPH=2t，

当∠APG=∠BPH时，△PAG≌△PBH，可得PG=PH，

此时10t-300=2t，

∴t=37.5；

综上所述，满足条件的t的值为15s或25s或37.5s．