Question

【题目】如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O，限用无刻度直尺完成以下作图：

（1）在图1中作线段BC的中点P；

（2）在图2中，在OB、OC上分别取点E、F，使EF∥BC．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）延长BA和CD，它们相交于点Q，然后延长QO交BC于P，则PB=PC，根据线段垂直平分线的逆定理可证明；

（2）连结AP交OB于E，连结DP交OC于F，则EF∥BC．分别证明△BEP≌△CFP，△BEP≌△CFP可得∠APB=∠DPC和∠PEF=∠PFE，根据三角形内角和定理和平角的定义可得∠APB=∠PEF，即可证明EF//BC.

解：（1）如图1，点P为所作，

理由如下：∵∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，BC=CB，

∴△ABC≌△DCB

∴∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC

∴QB=QC，OB=OC

∴Q,O在BC的垂直平分线上，

∴延长QO交BC于P，就有P为线段BC的中点；

（2）如图2，EF为所作．

理由如下：∵△ABC≌△DCB

∴AB=DC，

又∵∠ABC=∠DCB，BP=PC

∴△ABP≌△DCP

∴∠APB=∠DPC

又∵∠DBC=∠ACB，BP=PC

∴△BEP≌△CFP

∴PE=PF

∴∠PEF=∠PFE，

∵∠APB+∠DPC+∠APD=180°

∠PEF+∠PFE+∠APD=180°

∴∠APB=∠PEF

∴EF//BC.