Question

【题目】已知：如图，ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．

【1】求证：∠DAC ＝∠DBA；

【2】求证：是线段AF的中点

【3】若⊙O 的半径为5，AF ＝ ，求tan∠ABF的值．

Answer 1

【答案】

【1】∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA

∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC＝∠CBD

∴∠DAC ＝∠DBA (2分)

【2】∵AB为直径，∴∠ADB＝90°

又∵DE⊥AB于点E，∴∠DEB＝90° ∴∠ADE +∠EDB＝∠ABD +∠EDB＝90°

∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP

∴PD＝PA

又∵∠DFA +∠DAC＝∠ADE +∠PD F＝90°且∠ADE＝∠DAC

∴∠PDF＝∠PFD

∴PD＝PF ∴PA＝ PF 即P是线段AF的中点 （3分）

【3】∵∠DAF ＝∠DBA，∠ADB＝∠FDA＝90°∴△FDA ∽△ADB

∴

∴在Rt△ABD 中，tan∠ABD＝，即tan∠ABF＝ （3分）

【解析】（1）根据圆周角定理得出∠DAC=∠CBD，以及∠CBD=∠DBA得出答案即可；

（2）首先得出∠ADB=90，再根据∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°得出∠PDF=∠PFD，从而得出PA=PF；

（3）利用相似三角形的判定得出△FDA∽△ADB即可得出答案．