Question

【题目】如图：有一块余料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm．

（1）如果把它加工成长方形零件，使长方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设长方形宽xmm，面积为ymm2，那么宽为多少时，其面积最大．最大面积是多少？

(2）若以BC的中点O为原点建立平面直角坐标系，B（-60，0），AD=BD．

求过A、B、C三点的抛物线解析式；

在此抛物线对称轴上是否存在一点R，使以A、B、R为顶点的三角形是直角三角形．若存在，请直接写出R点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1） 当x＝40时，y最大值＝2400 ；（2）；（3）见解析．

【解析】分析：（1）设PQ=x，利用相似三角形的性质可得出QN=﹣x+120，根据矩形的面积公式即可得出y=﹣x2+120x，配方后即可找出面积的最大值；

（2）①依照题意画出图形，由AD的长度可得出点A的坐标，根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

②设点R的坐标为（0，n），则AB=80，AR=，BR=，分∠ABR=90°、∠ARB=90°和∠BAR=90°三种情况考虑，利用勾股定理即可得出关于n的一元一次（或一元二次）方程，解之即可得出结论．

详解：（1）∵PQ⊥BC，MN⊥BC，AD⊥BC，∴PQ∥AD，MN∥AD，∴△BPQ∽△BAD，△CAD∽△CMN，∴BQ=BD，CN=CD．

设PQ=x，则QN=BC﹣BQ﹣CN=120﹣（BD+CD）=﹣x+120，

∴y=PQQN=x（﹣x+120）=﹣x2+120x=﹣（x﹣40）2+2400，

∴当x=40时，y取最大值2400，∴宽为40mm时，其面积最大．最大面积是2400mm2．

（2）①依照题意画出图形，如图所示．

设抛物线的解析式为y=ax2+c，将B（﹣60，0）、A（20，80）代入y=ax2+c，，解得：，∴过A、B、C三点的抛物线解析式为y=﹣x2+90．

②假设存在，设点R的坐标为（0，n），则AB=80，AR=，BR=．

分三种情况考虑：

①当∠ABR=90°时，有AR2=AB2+BR2，即400+（80﹣n）2=12800+3600+n2，解得：n=﹣60，此时点R的坐标为（0，﹣60）；

②当∠ARB=90°时，有AB2=AR2+BR2，即12800=400+（80﹣n）2+3600+n2，整理得：n2﹣80n﹣1200=0，解得：n1=，n2=，此时点R的坐标为（0，）或（0，）；

③当∠BAR=90°时，有BR2=AB2+AR2，即3600+n2=12800+400+（80﹣n）2，解得：n=100，此时点R的坐标为（0，100）．

综上所述：在此抛物线对称轴上存在一点R，使以A、B、R为顶点的三角形是直角三角形，点R的坐标为（0，﹣60）或（0，）或（0，）或（0，100）．