Question

【题目】如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AB=25，BC=，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）DE=．

【解析】（1）直接利用圆周角定理以及结合切线的判定方法得出DE是⊙O的切线；

（2）首先过点C作CG⊥DE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，得出tan∠CEG=tan∠ACB，，即可求出答案．

（1）如图，连接OD，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC=90°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=45°，

∴∠AOD=90°，

∵DE∥AC，

∴∠ODE=∠AOD=90°，

∴DE是⊙O的切线；

（2）在Rt△ABC中，AB=2，BC=，

∴AC==5，

∴OD=，

过点C作CG⊥DE，垂足为G，

则四边形ODGC为正方形，

∴DG=CG=OD=，

∵DE∥AC，

∴∠CEG=∠ACB，

∴tan∠CEG=tan∠ACB，

∴，即，

解得：GE=，

∴DE=DG+GE=．