Question

【题目】在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M是AD边的中点，P是射线AB上的一个动点（不与A，B重合），MN⊥PM交射线BC于N点．

（1）如图1，当点N与点C重合时，求AP的长；

（2）如图2，在点N的运动过程中，求证： 为定值；

（3）在射线AB上，是否存在点P，使得△DCN∽△PMN？若存在，求此时AP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵矩形ABCD，∴∠A=∠D=90°，

∵MN⊥PM，

∴∠APM=90°﹣∠AMP=∠DMC，

∴△APM∽△DMC，

∴ = ，

∵点M是AD的中点，

∴MD=AM= AD=3，

∵CD=AB=4，

∴ = ，

∴AP=

（2）

解：证明：①当点P在线段AB上时，如图2，

延长MN交DC的延长线于G，

同（1）的方法得出，△APM∽△DMG，

∴ = ，

∴ = = ，

∴ + = + ，

∵AD∥CN，

∴∠CNG=∠DMG=∠APM，

∵∠PAM=∠NCG=90°，

∴△APM∽△CNG，

∴ ，

∴ = ，

∴ = ，

∴ = ；

②当点P在AB的延长线上时，如图，

同①的方法得出，△APM∽△DMH，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

同①的方法得出，△APM∽△CNH，

∴ ，

∴ ，

∴ = ；

即： 是定值

（3）

解：存在点P，使得△DCN∽△PMN，

解：由（2）知 = ，△DCN∽△PMN时，

∴ = ，

∴ = ，

∴CN=4，

易得，△MDH∽△NCH，

∴ = . = ，

∵CD=AB=4，

∴DH= ，CH= ，

由（2）②知，△APM∽△MDH，

∴ = ，

∴ = ，

P=

【解析】（1）先判断出∠APM=∠DMC即可得出△APM∽△DMC，即 = ，再求出AM=MD=3，CD=4代入即可；（2）分两种情况①判断出，△APM∽△DMG，和△APM∽△CNG用得出的比例式化简即可得出结论；②同①的方法即可得出结论；（3）先求出CN，再用△MDH∽△NCH求出DH，CH，最后用△APM∽△MDH即可求出结论．