Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=mx2+4x+1．

（1）当抛物线C经过点A（-5，6）时，求抛物线的表达式及顶点坐标；

（2）当直线y=-x+l与直线y=x+3关于抛物线C的对称轴对称时，求m的值；

（3）若抛物线C：y=mx2+4x+l（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在-l和0之间（不包括-l和0）．结合函数的图象，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+4x+1，抛物线的顶点坐标是（-2，-3）；（2）m=2；（3）3＜m≤4．

【解析】试题分析：（1）把点A（-5，6）代入抛物线y=mx2+4x+1求出m的值，即可得出抛物线的表达式与顶点坐标；
（2）先求出直线y=-x+1与直线y=x+3的交点，即可得出其对称轴，根据抛物线的对称轴方程求出m的值即可；
（3）根据抛物线C：y=mx2+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在-1和0之间可知当x=-1时，y＞0，且△≥0，求出m的取值范围即可．

试题解析：

（1）∵抛物线C：y=mx2+4x+1经过点A（-5，6），
∴6=25m-20+1，解得m=1，
∴抛物线的表达式为y=x2+4x+1=（x+2）2-3，
∴抛物线的顶点坐标为（-2，-3）；

（2）∵直线y=-x+1与直线y=x+3的交点为（-1，2），
∴两直线的对称轴为直线x=-1．
∵直线y=-x+1与直线y=x+3关于抛物线C的对称轴对称，
∴- =-1，解得m=2；

（3）∵抛物线C：y=mx2+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在-1和0之间，
∴当x=-1时，y＞0，且△≥0，即

解得3＜m≤4．