Question

【题目】如图，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，直线y=x+b（b＞0）与⊙O交于A、B两点，点O关于直线y=x+b的对称点O′．
（1）求证：四边形OAO′B是菱形；
（2）当点O′落在⊙O上时，求b的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OO′，

∵点O关于直线y=x+b的对称点为O′，

∴直线y=x+b是线段OO′的垂直平分线，

∴AO=AO′，BO=BO′，

又∵OA，OB是⊙O的半径，

∴OA=OB，

∴AO=AO′=BO=BO′，

∴四边形OAO′B是菱形

（2）解：如图，菱形OAO′B的对角线交点为点M，

当点O′落在圆上时，

∵OM= OO′=1，

∵设直线y=x+b与x轴、y轴的交点坐标分别是N（﹣b，0），P（0，b），

∴△ONP为等腰直角三角形，

∴∠ONP=45°，

∵四边形OAO′B是菱形，

∴OM⊥PN，

∵∠ONP=45°=∠OPN，

∴OM=PM=MN=1，

在Rt△POM中，由勾股定理得：OP= ，

即b= ．

【解析】（1）根据轴对称得出直线y=x+b是线段OO′的垂直平分线，推出AO=AO′，BO=BO′，求出AO=AO′=BO=BO′，即可推出答案；（2）设直线y=x+b与x轴、y轴的交点坐标分别是N（﹣b，0），P（0，b），得出等腰直角三角形ONP，求出OM⊥NP，求出MP=OM=1，根据勾股定理求出即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰直角三角形的相关知识，掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°，以及对勾股定理的概念的理解，了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．