Question

【题目】如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．如果一条直线与果圆只有一个交点，则这条直线叫做果圆的切线．已知A、B、C、D四点为果圆与坐标轴的交点，E为半圆的圆心，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AC为半圆的直径．

（1）分别求出A、B、C、D四点的坐标；
（2）求经过点D的果圆的切线DF的解析式；
（3）若经过点B的果圆的切线与x轴交于点M，求△OBM的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接DE，

∵y=x2﹣2x﹣3，

∴x=0时，y=﹣3，

y=0时，x1=﹣1，x2=3，

∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，﹣3），点C的坐标为（3，0），

∵AC=4，

∴AE=DE=2，

∴OE=1，

∴OD= = ，

∴D点的坐标为（0， ）

（2）解：∵DF是果圆的切线，

∴ED⊥DF，又DO⊥EF，

∴DE2=EOEF，

∴EF=4，则OF=3，

∴点F的坐标为（﹣3，0），

设经过点D的果圆的切线DF的解析式为y=kx+b，

则 ，

解得 ．

∴经过点D的果圆的切线DF的解析式为y= x+

（3）解：设经过点B的果圆的切线的解析式为：y=ax+c，

∵点B的坐标为（0，﹣3），

∴经过点B的果圆的切线的解析式为：y=ax﹣3，

由题意得，方程组 只有一个解，

即一元二次方程x2﹣（a+2）x=0有两个相等的实数根，

△=（a+2）2﹣4×1×0=0，

解得a=﹣2，

∴经过点B的果圆的切线的解析式为：y=﹣2x﹣3，

当y=0时，x=﹣ ，

∴点M的坐标为（﹣ ，0），即OM= ，

∴△OBM的面积= ×OM×OB= ．

【解析】（1）连接DE， 根据坐标轴上点的坐标特点求出A,B,C三点的坐标，根据A,C两点的坐标求出半圆直径AC的长，从而得出半径AE=DE=2，算出OE的长，根据勾股定理得出OD的长，从而得出D点的坐标；
（2）根据切线的性质得出ED⊥DF，又DO⊥EF，从而判断出△OED△DEF,根据相似三角形对应边成比例得出DE2=EOEF，从而得出点F的坐标，设经过点D的果圆的切线DF的解析式为y=kx+b，用待定系数法求出经过点D的果圆的切线DF的解析式；
（3）设经过点B的果圆的切线的解析式为：y=ax+c，由于直线过点B，故经过点B的果圆的切线的解析式为：y=ax﹣3，由于y=ax﹣3与y=x2﹣2x﹣3组成的方程组只有一个解，即一元二次方程x2﹣（a+2）x=0有两个相等的实数根，由根的判别式（a+2）2﹣4×1×0=0，得出a的值，从而得出经过点B的果圆的切线的解析式为：y=﹣2x﹣3，进而找到M点的坐标，求出△OBM的面积。

【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形的面积的相关知识，掌握三角形的面积=1/2×底×高，以及对相似三角形的判定与性质的理解，了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．