Question

【题目】(1)计算并观察下列各式：

第1个：(a﹣b)(a+b)＝______；

第2个：(a﹣b)(a2+ab+b2)＝______；

第3个：(a﹣b)(a3+a2b+ab2+b3)＝_______；

……

这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．

(2)猜想：若n为大于1的正整数，则(a﹣b)(an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2+……+a2bn﹣3+abn﹣2+bn﹣1)＝________；

(3)利用(2)的猜想计算：2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1＝______．

(4)拓广与应用：3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1＝_______．

Answer 1

【答案】(1)a2﹣b2、a3﹣b3、a4﹣b4；(2)：an﹣bn；(3)2n﹣1；(4).

【解析】

（1）根据多项式乘多项式的乘法计算可得；

（2）利用（1）中已知等式得出该等式的结果为a、b两数n次幂的差；

（3）将原式变形为2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1═（2﹣1）（2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1），再利用所得规律计算可得；

（4）将原式变形为3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1＝×（3﹣1）（3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1），再利用所得规律计算可得．

解：(1)第1个：(a﹣b)(a+b)＝a2﹣b2；

第2个：(a﹣b)(a2+ab+b2)＝a3﹣b3；

第3个：(a﹣b)(a3+a2b+ab2+b3)＝a4﹣b4；

故答案为：a2﹣b2、a3﹣b3、a4﹣b4；

(2)若n为大于1的正整数，则(a﹣b)(an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2+……+a2bn﹣3+abn﹣2+bn﹣1)＝an﹣bn，

故答案为：an﹣bn；

(3)2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1＝(2﹣1)(2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1)

＝2n﹣1n＝2n﹣1，

故答案为：2n﹣1．

(4)3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1

＝×(3﹣1)(3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1)

＝×(3n﹣1n)

＝，

故答案为： ．