Question

【题目】如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=6，AD=4，DC=3，动点P从点A出发，沿A→D→C→B方向移动，动点Q从点A出发，在AB边上移动．设点P移动的路程为x，点Q移动的路程为y，线段PQ平分梯形ABCD的周长．

（1）求y与x的函数关系式，并求出x，y的取值范围；
（2）当PQ∥AC时，求x，y的值；
（3）当P不在BC边上时，线段PQ能否平分梯形ABCD的面积？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：过C作CE⊥AB于E，则CD=AE=3，CE=4，可得BC=5，

所以梯形ABCD的周长为6+3+4+5=18，

∵PQ平分ABCD的周长，

∴x+y=9，

∵0≤y≤6，

∴3≤x≤9，

故所求关系式为：y=﹣x+9，3≤x≤9；

（2）

解：依题意，P只能在BC边上，7≤x≤9．

PB=12﹣x，BQ=6﹣y，

因为PQ∥AC，所以△BPQ∽△BCA，所以 ，

得： ，

即6x﹣5y=42，

解方程组

得 ；

（3）

解：梯形ABCD的面积为18，

当P不在BC边上，则3≤x≤7，

a）当3≤x＜4时，P在AD边上，S△APQ= xy，

如果线段PQ能平分梯形ABCD的面积，则有 ，

可得： ，

解得 ， （舍去），

b）当4≤x≤7时，点P在DC边上，此时SADPQ= ×4（x﹣4+y），

如果线段PQ能平分梯形ABCD的面积，则有 ×4（x﹣4+y）=9，

可得 此方程组无解．

所以当x=3时，线段PQ能平分梯形ABCD的面积．

【解析】（1）过C作CE⊥AB于E，由勾股定理求得BC的值，进而得到梯形的周长为18，由题意知，y=﹣x+9，由于点Q只在AB上，于是能确定出x的取值范围；（2）∵PQ∥AC，∴△BPQ∽△BCA，有 ，得6x﹣5y=42，与y=﹣x+9组成方程组求解即可；（3）通过讨论点P的位置，建立关于x，y的方程组求得x的值．
【考点精析】利用解二元一次方程组和函数关系式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知二元一次方程组：①代入消元法；②加减消元法；用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式．