Question

【题目】如图1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点（不与A、C重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F．
（1）求证：BP=DP；
（2）如图2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；
（3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连接，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）证明：证法一：在△ABP与△ADP中，

∵AB=AD∠BAC=∠DAC，AP=AP，

∴△ABP≌△ADP，

∴BP=DP．

证法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP．

（2）证明：解：不是总成立．

当四边形PECF的点P旋转到BC边上时，DP＞DC＞BP，此时BP=DP不成立，

是当P点在AC的延长线上时，BP=DP，

说明：未用举反例的方法说理的不得分．

（3）解：连接BE、DF，则BE与DF始终相等，

，

在图1中，由正方形ABCD可证：

AC平分∠BCD，

∵PE⊥BC，PF⊥CD，

∴PE=PF，∠BCD=90°，

∴四边形PECF为正方形．

∴CE=CF，

∵∠DCF=∠BCE，

BC=CD，

∴△BEC≌△DFC，

∴BE=DF．

【解析】（1）由正方形的性质可证△ABP≌△ADP，即BP=DP；（2）当四边形PECF的点P旋转到BC边上时，DP＞DC＞BP，此时BP=DP不成立；（3）由旋转的性质和正方形的性质可证△BEC≌△DFC，即BE=DF．
【考点精析】利用全等三角形的性质和旋转的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了．