Question

【题目】如图， 四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）． 点从 出发以每秒2个单位长度的速度向运动；点从同时出发，以每秒1个单位长度的速度向运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作垂直轴于点，连结AC交NP于Q，连结MQ．

【1】点 （填M或N）能到达终点；

【1】求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；

【1】是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，

说明理由．

Answer 1

【答案】

【1】点M

【1】经过t秒时，， ，则，

∵==，∴ ∴

∴

∴ ∵∴当时，S的值最大．

【1】存在。

设经过t秒时，NB=t，OM=2t ，则，∴==

①若，则是等腰Rt△底边上的高，

∴是底边的中线 ∴，∴，∴， ∴点的坐标为（1，0）

②若，此时与重合，∴，∴，

∴ ∴点的坐标为（2，0）

【解析】

【1】由于点M比点N先出发并且点M的速度比点N大，可知点M能到达终点．

【1】经过t秒时可得NB=y，OM-2t．根据∠BCA=∠MAQ=45°推出QN=CN，PQ的值．求出S与t的函数关系式后根据t的值求出S的最大值．

【1】本题分两种情况讨论（若∠AQM=90°，PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高；

若∠QMA=90°，QM与QP重合）求出t值．