Question

【题目】如图，函数的图象经过，，其中，过点A作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，连结AD，DC，CB，AC与BD相交于点E．

（1）若的面积为4，求点B的坐标；

（2）四边形ABCD能否成为平行四边形，若能，求点B的坐标，若不能说明理由；

（3）当时，求证：四边形ABCD是等腰梯形.

Answer 1

【答案】（1）；（2）能, ;（3）详见解析.

【解析】

（1）将A的坐标代入反比例解析式中求出k的值，确定出反比例解析式，将B的坐标代入反比例解析式中，求出mn的值，三角形ABD的面积由BD为底边，AE为高，利用三角形面积公式来求，由B的坐标得到BD=m，由AC-EC表示出AE，由已知的面积，利用面积公式列出关系式，将mn的值代入，求出m的值，进而确定出n的值，即可得到B的坐标；

（2）假设四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质得到BD与AC互相平分，得到E为AC的中点，E为BD的中点，由A的坐标求出E的坐标，进而确定出B的坐标，将B坐标代入反比例解析式检验，B在反比例图象上，故假设正确，四边形ABCD能为平行四边形；

（3）由由AC=BD，得到A的纵坐标与B的横坐标相等，确定出B的横坐标，将B横坐标代入反比例解析式中求出B的纵坐标，得到B的坐标，进而确定出E的坐标，得到DE=CE=1，由AC=BD，利用等式的性质得到AE=BE，进而得到两对对应边成比例，且由对顶角相等得到夹角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，得到三角形DEC与三角形AEB相似，由相似三角形的对应角相等得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到CD与AB平行，而在直角三角形ADE与直角三角形BEC中，DE=EC，AE=BE，利用勾股定理得到AD=BC，且AD与BC不平行，可得出四边形ABCD为等腰梯形．

解：（1）；

（2）若ABCD是平行四边形，则AC，BD互相平分，

∵，∴，

将代入反比例中，；

∴B在上，则四边形ABCD能成为平行四边形；

（3）∵，，；

∴

∵轴，轴，

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴

根据勾股定理，.

∵AD与BC不平行

∴则四边形ABCD是等腰梯形.