Question

【题目】（10分）如图，已知AB是⊙O直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．

（1）求证：PC=PG；

（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；

（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为5，若点O到BC的距离为时，求弦ED的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE=4．

【解析】

试题分析：（1）连结OC，根据切线的性质得OC⊥PC，可得∠OCG+∠PCG=90°，由ED⊥AB得∠B+∠BGF=90°，又因∠B=∠OCG，所以∠PCG=∠BGF，根据对顶角相等得∠BGF=∠PGC，

于是∠PGC=∠PCG，所以PC=PG；

（2）连结OG，由点G是BC的中点，根据垂径定理的推论得OG⊥BC，BG=CG，易证得Rt△BOG∽Rt△BGF，则BG：BF=BO：BG，即BG2=BOBF，把BG用CG代换得到CG2=BOBF；

（3）连结OE，OG=OG=，在Rt△OBG中，利用勾股定理计算出BG的长，再利用BG2=BOBF可计算出BF，从而得到OF=1的长，在Rt△OEF中，根据勾股定理计算出EF的长，由于AB⊥ED，根据垂径定理可得EF=DF，再根据DE=2EF即可得DE的长．

试题解析：（1）证明：连结OC，如图，

∵PC为⊙O的切线，

∴OC⊥PC，

∴∠OCG+∠PCG=90°，

∵ED⊥AB，

∴∠B+∠BGF=90°，

∵OB=OC，

∴∠B=∠OCG，

∴∠PCG=∠BGF，

而∠BGF=∠PGC，

∴∠PGC=∠PCG，

∴PC=PG；

（2）解：CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG2=BOBF．理由如下：

连结OG，如图，

∵点G是BC的中点，

∴OG⊥BC，BG=CG，

∴∠OGB=90°，

∵∠OBG=∠GBF，

∴Rt△BOG∽Rt△BGF，

∴BG：BF=BO：BG，

∴BG2=BOBF，

∴CG2=BOBF；

（3）解：连结OE，如图，

由（2）得OG⊥BC，

∴OG=，

在Rt△OBG中，OB=5，

∴BG==2，

由（2）得BG2=BOBF，

∴BF==4，

∴OF=1，

在Rt△OEF中，EF==2，

∵AB⊥ED，

∴EF=DF，

∴DE=2EF=4．