Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，连结AC、BD．在四边形ABCD的外部以BC为一边作等边△BCE，连结AE．

（1）求证：BD＝AE；

（2）若AB＝3，BC＝4，求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AE＝5

【解析】试题分析：（1）由∠ADC=60°，AD=DC，易得△ADC是等边三角形，又由△BCE是等边三角形，可证得△BDC≌△EAC（SAS），即可得BD=AE；

（2）由△BCE是等边三角形，∠ABC=30°，易得∠ABE=90°，然后由勾股定理求得AE的长，即可求得BD的长．

试题解析：（1）∵在△ADC中，AD＝DC，∠ADC＝60°，

∴△ADC是等边三角形，

∴DC＝AC，∠DCA＝60°，

又∵△BCE是等边三角形，

∴CB＝CE，∠BCE＝60°，

∴∠DCA+∠ACB＝∠ECB+∠ACB，

即∠DCB＝∠ACE，

∴△BDC≌△EAC（SAS），

∴BD＝AE；

（2）∵△BCE是等边三角形，

∴BE＝BC＝4，∠CBE＝60°．

∵∠ABC＝30°，

∴∠ABE＝90°．

在Rt△ABE中，AE＝＝=5