Question

【题目】如图，⊙O中，FG、AC是直径，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点C的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，已知AB=4，⊙O的半径为 ．
（1）分别求出线段AP、CB的长；
（2）如果OE=5，求证：DE是⊙O的切线；
（3）如果tan∠E= ，求DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AC为直径，

∴∠ABC=90°，

在Rt△ABC中，AC=2 ，AB=4，

∴BC= =2，

∵直径FG⊥AB，

∴AP=BP= AB=2

（2）证明∵AP=BP，AO=OC

∴OP为△ABC的中位线，

∴OP= BC=1，

∴ = ，

而 = = ，

∴ = ，

∵∠EOC=∠AOP，

∴△EOC∽△AOP，

∴∠OCE=∠OPA=90°，

∴OC⊥DE，

∴DE是⊙O的切线

（3）解：∵BC∥EP，

∴∠DCB=∠E，

∴tan∠DCB=tan∠E=

在Rt△BCD中，BC=2，tan∠DCB= = ，

∴BD=3，

∴CD= = ，

∵BC∥EP，

∴ = ，即 = ，

∴DE=

【解析】（1）根据圆周角定理由AC为直径得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理可计算出BC=2，再根据垂径定理由直径FG⊥AB得到AP=BP= AB=2；（2）易得OP为△ABC的中位线，则OP= BC=1，再计算出 = = ，根据相似三角形的判定方法得到△EOC∽△AOP，根据相似的性质得到∠OCE=∠OPA=90°，然后根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；（3）根据平行线的性质由BC∥EP得到∠DCB=∠E，则tan∠DCB=tan∠E= ，在Rt△BCD中，根据正切的定义计算出BD=3，根据勾股定理计算出CD= ，然后根据平行线分线段成比例定理得 = ，再利用比例性质可计算出DE= ．