Question

【题目】已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过O点的两直线OE、OF互相垂直，分别交AB、BC于E、F，连接EF．

（1）求证：OE=OF；

（2）若AE=4，CF=3，求EF的长；

（3）若AB=8cm，请你计算四边形OEBF的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）EF=5；（3）16cm2

【解析】

（1）根据正方形的性质可得OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，再利用同角的余角相等得到∠BOE=∠COF，从而推出△OBE≌△OCF，即可得OE=OF；

（2）由（1）中的全等三角形可得BE=CF=3，由正方形的性质可知AB=BC，推出BF=AE=4，再根据勾股定理求出EF即可；

（3）由（1）中的全等三角形可将四边形OEBF的面积转化为△OBC的面积，等于正方形面积的四分之一．

（1）∵四边形ABCD为正方形

∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，BD⊥AC

∴∠BOF+∠COF=90°，

∵OE⊥OF

∴∠BOF+∠BOE=90°

∴∠BOE=∠COF

在△OBE和△OCF中，

∵∠OBE=∠OCF，OB=OC，∠BOE=∠COF

∴△OBE≌△OCF（ASA）

∴OE=OF

（2）∵△OBE≌△OCF

∴BE=CF=3，

∵四边形ABCD为正方形

∴AB=BC

即AE+BE=BF+CF

∴BF=AE=4

∴EF=

（3）∵△OBE≌△OCF

∴S四边形OEBF=S△OBE+S△OBF

=S△OCF+ S△OBF

=S△BOC

=S正方形ABCD

=

=16cm2