Question

【题目】请回答下列问题：
（1）叙述三角形中位线定理，并运用平行四边形的知识证明；
（2）运用三角形中位线的知识解决如下问题：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC ， E、F分别是AB ， CD的中点，求证：EF= （AD+BC）

Answer 1

【答案】
（1）

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

已知：△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，

求证：EF∥BC且EF= BC，

证明：如图，延长EF到D，使FD=EF，

∵点F是AC的中点，

∴AF=CF，

在△AEF和△CDF中，

AF＝FC

∠AFE＝∠CFD

EF＝FD

∴△AEF≌△CDF（SAS），

∴AE=CD，∠D=∠AEF，

∴AB∥CD，

∵点E是AB的中点，

∴AE=BE，

∴BE=CD，

∴BE CD，

∴四边形BCDE是平行四边形，

∴DE∥BC，DE=BC，

∴DE∥BC且EF= BC.

（2）

证明：连接AF并延长，交BC延长线于点M，

∵AD∥BC，

∴∠D=∠FCM，

∵F是CD中点，

∴DF=CF，

在△ADF和△MCF中，

∠D＝∠FCM

DF＝CF

∠AFD＝∠MFC

∴△ADF≌△MCF（ASA），

∴AF=FM，AD=CM，

∴EF是△ABM的中位线，

∴EF∥BC∥AD，EF=BM= （AD+BC）．

【解析】（1）作出图形，然后写出已知、求证，延长EF到D ， 使FD=EF ， 利用“边角边”证明△AEF和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CD ， 全等三角形对应角相等可得∠D=∠AEF ， 再求出CE=CD ， 根据内错角相等，两直线平行判断出AB∥CD ， 然后判断出四边形BCDE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DE∥BC ， DE=BC.（2）连接AF并延长，交BC延长线于点M ， 根据ASA证明△ADF≌△MCF ， 判断EF是△ABM的中位线，根据三角形中位线定理即可得出结论 ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形中位线定理的相关知识，掌握连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半，以及对梯形的中位线的理解，了解梯形的中位线平行于梯形的两底并等于两底和的一半．