Question

【题目】在梯形ABCD中，AD∥BC ， AB=CD ， ∠AOD=60°，E为OA的中点，F为OB的中点，G为CD的中点，试判断△EFG的形状并说明理由 ．

Answer 1

【答案】解：△EFG为等边三角形；证明如下：
如图，连接DE、CF；

∵AD∥BC ， AB=CD ，
∴四边形ABCD为等腰梯形，
∴AC=BD；
在△ABD与△DCA中，
AB＝DC
AD＝DA
BD＝AC
∴△ABD≌△DCA（SSS），
∴∠OAD=∠ODA ， AO=DO；而∠AOD=60°，
∴△AOD为等边三角形，AD=OD；
∵AE=OE ，
∴DE⊥AO ， △CDE为直角三角形，
∵DG=CG ，
∴EG= CD；同理可求：FG= CD；
∵E为OA的中点，F为OB的中点，
∴EF为△OAB的中位线，
∴EF= AB；而AB=CD ，
∴EG=FG=EF ，
∴△EFG为等边三角形 ．
【解析】如图，作辅助线；首先证明∠OAD=∠ODA ， 得到AO=DO ， 结合∠AOD=60°，判断出△AOD为等边三角形，此为解题的关键性结论；其次证明DE⊥AC ， 运用直角三角形的性质证明EG=FG= CD；运用三角形的中位线定理证明EF= AB ， 结合AB=CD ， 得到EG=FG=EF ， 即可解决问题 ．
【考点精析】利用三角形中位线定理对题目进行判断即可得到答案，需要熟知连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．