Question

【题目】如图1，已知抛物线y=﹣ x2﹣ x+c与x轴相交于A、B两点（B点在A点的左侧），与y轴相交于C点，且AB=10．

（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图2，D点在x轴上，且在A点的右侧，E点为抛物线上第二象限内的点，连接ED交抛物线于第二象限内的另外一点F，点E到y轴的距离与点F到y轴的距离之比为3：1，已知tan∠BDE= ，求点E的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G由B出发，沿x轴负方向运动，连接EG，点H在线段EG上，连接DH，∠EDH=∠EGB，过点E作EK⊥DH，与抛物线相应点E，若EK=EG，求点K的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：由y=﹣ x2﹣ x+c，

可得对称轴为x=﹣4

∵AB=10，

∴点A的坐标为（1，0），

∴ ，

∴c=3

∴抛物线的解析式为y=﹣ +3．

（2）解：如图2，作EM⊥x轴，垂足为点M，FN⊥x轴，垂足为点N，FT⊥EM，垂足为点T．

∴∠TMN=∠FNM=∠MTF=90°，

∴四边形FTMN为矩形，

∴EM∥FN，FT∥BD．

∴∠BDE=∠EFT，

∵tan∠BDE= ，

∴tan∠EFT= ，

设E（﹣3m，yE），F（﹣m，yF）

∴

∵y=﹣ +3过点E、F，

则yE﹣yF= =（﹣3m2+8m+3）﹣（﹣ +3），

解得m=0（舍去）或m=1，

当m=1时，﹣3m=﹣3，

∴ =8．

∴E（﹣3，8）

（3）解：如图3，作EM⊥x轴，垂足为点M，过点K作KR⊥ED，与ED相交于点R，与x轴相交于点Q．

∵∠KER+∠EDH=90°，∠EGM+∠GEM=90°，∠EDH=∠EGM，

∴∠KER=∠GEM，

在△EGM和△EKR中，

∴△EGM≌△EKR，

∴EM=ER=8，

∵tan∠BDE= ．

∴ED=10，

∴DR=2，

∴DQ=

∴Q（﹣ ，0），

可求R（ ， ）

∴直线RQ的解析式为：y= ．

设点K的坐标为（x， ）代入抛物线解析式可得x=﹣11

∴K（﹣11，﹣8）．

【解析】（1）利用抛物线的轴对称性，求出对称轴，结合AB=10，求出A点坐标代入即可；（2）设出E的横坐标，表示 出E、F的纵坐标，利用tan∠BDE的定义构建关于m的方程，求出E的坐标；（3）通过作垂线构造出全等三角形，即△EGM≌△EKR，求出直线RQ解析式，解出二者联立的方程组， 即可求出其与抛物线交点坐标.