Question

【题目】如图，菱形ABCD的边长为24厘米，∠A=60°，点P从点A出发沿线路AB→BD作匀速运动，点Q从点D同时出发沿线路DC→CB→BA作匀速运动．

（1）求BD的长；

（2）已知点P、Q运动的速度分别为4厘米/秒，5厘米/秒，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请你确定△AMN是哪一类三角形，并说明理由；

（3）设（2）中的点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，点P的速度不变，点Q的速度改变为a厘米/秒，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与（2）中的△AMN相似，试求a的值．

Answer 1

【答案】（1）BD=24（2）△AMN是直角三角形（3）2或6或12

【解析】试题分析：（1）根据菱形的性质证△ABD是等边三角形即可；

（2）求出P Q走的距离，再根据等腰三角形性质即可推出答案；

（3）分为三种情况：根据相似，得到比例式，求出Q走的距离，即可求出答案．

试题解析：（1）∵菱形ABCD，

∴AB=AD，

∵∠A=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴BD=AB=24厘米．

答：BD=24厘米．

（2）12秒时，P走了4×12=48，

∵AB+BD=24+24=48，

∴P到D点，

同理Q到AB的中点上，

∵AD=BD，

∴MN⊥AB，

∴△AMN是直角三角形．

（3）有三种情况：如图（2）

∠ANM=∠EFB=90°，∠A=∠DBF=60°，DE=3×4=12=AD，

根据相似三角形性质得：BF=AN=6，

∴NB+BF=12+6=18，

∴a=18÷3=6，

同理：如图（1）求出a=2；

如图（3）a=12．

∴a的值是2或6或12．