Question

【题目】如图，C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB= ，抛物线y=ax2+bx经过点A（4,0）与点（-2,6）.

（1）求抛物线的函数解析式；
（2）直线m与C相切于点A，交y轴于点D，求证：AD//OB；
（3）在（2）的条件下，点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值.

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+bx经过点A（4,0）与点（-2,6），

∴

解得

所以抛物线的解析式为y= .

（2）

解：如图，连接AC交OB于点E，连接OC，BC，

∵OC=BC，AB=AO，

∴AC⊥OB，

∴AD为切线，

∴AC⊥AD，

∴AD//OB.

（3）

解：∵tan∠AOB= ，

∴sin∠AOB= ，

∴AE=OA·sin∠AOB=4× =2.4，

∵AD//OB，

∴∠OAD=∠AOB，

∴OD=OA·tan∠OAD=OA·tan∠AOB=4× =3，

当PQ⊥AD时，OP=t，DQ=2t，

过O点作OF⊥AD于F，

在Rt△ODF中，OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ-FQ=DQ-OP=2t-t=t，

由勾股定理得：DF= = =1.8，

∴t=1.8秒.

【解析】（1）将两点的坐标代入函数解析式，解出a，b的值即可；（2）连接AC交OB于点E，连接OC，BC，又由AO=AB，根据“垂径定理”可得A平分弧OB，则AC⊥OB，又由AD为切线，则AC⊥AD，则AD//OB.（3）OP=t，DQ=2t，可过O点作OF⊥AD于F，则DF=DQ-FQ=DQ-OP=2t-t=t，所以只要求出DF即可，根据tan∠AOB= ，和AD//OB，AO=4可求出.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．