Question

【题目】阅读理解

如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．

小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．

探究发现

△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？ 　 　（填“是”或“不是”）．

小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为 ．

根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为　 　．

应用提升

（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．

请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）∠B=n∠C；（3）4º，172º；8º，168º；16º，160º；44º，132º；88º，88º．

【解析】试题分析：（1）仔细分析题意根据折叠的性质及“好角”的定义即可作出判断；

（2）因为经过三次折叠∠BAC是△ABC的好角，所以第三次折叠的∠A2B2C=∠C，由∠ABB1=∠AA1B1，∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，又∠A1B1C=∠A1A2B2，∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C，∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C，由此即可求得结果；

（3）因为最小角是4是△ABC的好角，根据好角定义，则可设另两角分别为4m，4mn（其中m、n都是正整数），由题意得4m+4mn+4=180，所以m(n+1)=44，再根据m、n都是正整数可得 m与n+1是44的整数因子，从而可以求得结果．

（1）由题意得∠BAC是△ABC的好角；

（2）因为经过三次折叠∠BAC是△ABC的好角，所以第三次折叠的∠A2B2C=∠C

因为∠ABB1=∠AA1B1，∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，又∠A1B1C=∠A1A2B2，∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C，

所以∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C

由此可猜想若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B=n∠C；

（3）因为最小角是4是△ABC的好角，

根据好角定义，则可设另两角分别为4m，4mn（其中m、n都是正整数）．

由题意，得4m+4mn+4=180，所以m(n+1)=44．

因为m、n都是正整数，所以m与n+1是44的整数因子，

因此有：m=1，n+1=44；m=2，n+1=22；m=4，n+1=11；m=11，n+1=4；m=22，n+1=2．

所以m=1，n=43；m=2，n=21；m=4，n=10；m=11，n=3；m=22，n=1．

所以4m=4，4mn=172；4m=8，4mn=168；4m=16，4mn=160；4m=44，4mn=132；4m=88，4mn=88．

所以该三角形的另外两个角的度数分别为：4，172；8，168；16，160；44，132；88，88．