Question

【题目】如图，已知抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6）．

（1）求抛物线的表达式；
（2）证明：四边形AOBC的两条对角线互相垂直；
（3）在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的DEFG？（顶点D，E，F，G分别在线段AO，OB，BC，CA上，且不与四边形AOBC的顶点重合）若能，求出DEFG的最大面积，并求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

根据题意得 ，解得 ，

∴抛物线的表达式为y= x2﹣ x+4

（2）

证明：如图1，连结AB、OC，

∵A（4，0），B（0，4），C（6，6），

∴OA=4，OB=4，CB= =2 ，CA= =2 ，

∴OA=OB，CA=CB，

∴OC垂直平分AB，

即四边形AOBC的两条对角线互相垂直

（3）

解：能．

如图2，

AB= =4 ，OC= =6 ，设D（t，0），

∵四边形DEFG为平行四边形，

∴EF∥DG，EF=DG，

∵OC垂直平分AB，

∴△OBC与△OAC关于OC对称，

∴EF和DG为对应线段，

∴四边形DEFG为矩形，DG∥OC，

∴DE∥AB，

∴△ODE∽△OAB，

∴ = ，即 = ，解得DE= t，

∵DG∥OC，

∴△ADG∽△AOC，

∴ = ，即 = ，解得DG= （4﹣t），

∴矩形DEFG的面积=DEDG= t （4﹣t）=﹣3t2+12t=﹣3（t﹣2）2+12，

当t=2时，平行四边形DEFG的面积最大，最大值为12，此时D点坐标为（2，0）．

【解析】（1）根据抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6），利用待定系数法，求出抛物线的表达式即可；（2）利用两点间的距离公式分别计算出OA=4，OB=4，CB=2 ，CA=2 ，则OA=OB，CA=CB，根据线段垂直平分线定理的逆定理得到OC垂直平分AB，所以四边形AOBC的两条对角线互相垂直；（3）如图2，利用两点间的距离公式分别计算出AB=4 ，OC=6 ，设D（t，0），根据平行四边形的性质四边形DEFG为平行四边形得到EF∥DG，EF=DG，再由OC垂直平分AB得到△OBC与△OAC关于OC对称，则可判断EF和DG为对应线段，所以四边形DEFG为矩形，DG∥OC，则DE∥AB，于是可判断△ODE∽△OAB，利用相似比得DE= t，接着证明△ADG∽△AOC，利用相似比得DG= （4﹣t），所以矩形DEFG的面积=DEDG= t （4﹣t）=﹣3t2+12t，然后根据二次函数的性质求平行四边形DEFG的面积的最大值，从而得到此时D点坐标．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．