Question

【题目】对x，y定义一种新运算x[]y= （其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则混合运算，例如：0[]2= =﹣2b．
（1）已知1[]2=3，﹣1[]3=﹣2．请解答下列问题．
①求a，b的值；
②若M=（m2﹣m﹣1）[]（2m﹣2m2），则称M是m的函数，当自变量m在﹣1≤m≤3的范围内取值时，函数值M为整数的个数记为k，求k的值；
（2）若x[]y=y[]x，对任意实数x，y都成立（这里x[]y和y[]x均有意义），求a与b的函数关系式？

Answer 1

【答案】
（1）

解：①由1[]2=3，﹣1[]3=﹣2，得

，解得 ．

答：a的值为8，b的值为﹣1．

②把a=8，b=﹣1代入x[]y= ，得x[]y= ，

M=（m2﹣m﹣1）[]（2m﹣2m2）=﹣2m2+2m+4=﹣2 + ，

又∵﹣1≤m≤3，

∴当m= 时，M取最大值 ；

当m=﹣1时，M=0；

当m=3时，M=﹣8．

∴﹣8≤M≤ =4 ，

∴k=8+4+1=13．

（2）

解：∵x[]y=y[]x，

∴ = ，

∴ay2﹣ax2+4by2﹣4bx2=0，

∴a（y2﹣x2）+4b（y2﹣x2）=0，

即（a+4b）（y2﹣x2）=0．

∵对任意实数x，y都成立，

∴a+4b=0，

∴a=﹣4b

【解析】（1）①结合新运算的定义，代入数据，解二元一次方程组即可得出结论；②将a、b的值代入原定义式中，用m表示出M，由二次函数的性质即可找出M的取值范围，从而得出k的值；（2）x[]y=y[]x得出关于a、b、x、y的等式，由对任意实数x，y都成立，找出恒为0的代数式a+4b=0，从而得出结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解有理数的四则混合运算(在没有括号的不同级运算中，先算乘方再算乘除，最后算加减)．