Question

【题目】阅读下面材料，然后解答问题：
在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）为端点的线段的中点坐标为（ ， ）．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y= （x＜0）和y= （x＞0）的图象关于y轴对称，直线y= + 与两个图象分别交于A（a，1），B（1，b）两点，点C为线段AB的中点，连接OC、OB．

（1）求a、b、k的值及点C的坐标；
（2）若在坐标平面上有一点D，使得以O、C、B、D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：依题意得 ，

解得 ，

∴A（﹣3，1），B（1，3），

∵点B在双曲线y= （x＞0）上，

∴k=1×3=3，

∵点C为线段AB的中点，

∴点C坐标为（ ， ），即为（﹣1，2）

（2）

解：将线段OC平移，使点O（0，0）移到点B（1，3），则点C（﹣1，2）移到点D（0，5），此时四边形OCDB是平行四边形；

将线段OC平移，使点C（﹣1，2）移到点B（1，3），则点O（0，0）移到点D（2，1），此时四边形OCBD是平行四边形；

线段BO平移，使点B（1，3）移到点C（﹣1，2），则点O（0，0）移到点D（﹣2，﹣1），此时四边形BODC是平行四边形．

综上所述，符合条件的点D坐标为（0，5）或（2，1）或（﹣2，﹣1）．

【解析】（1）首先把A（a，1），B（1，b）代入y= 和y= + 可以得到方程组，解方程组即可算出a、b的值，继而得到A、B两点的坐标，再把B点坐标代入双曲线y= （x＞0）上，即可算出k值，再根据中点坐标公式算出C点坐标；（2）此题分三个情况：①四边形OCDB是平行四边形，②四边形OCBD是平行四边形，③四边形BODC是平行四边形．根据点的平移规律可得到D点坐标．