Question

【题目】如图，已知矩形ABCD中，F是BC上一点，且AF=BC，DE⊥AF，垂足是E，连接DF．求证：
（1）△ABF≌△DEA；
（2）DF是∠EDC的平分线．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，

∴∠DAE=∠AFB，

∵DE⊥AF，

∴∠DEA=∠B=90°，

∵AF=BC，

∴AF=AD，

在△DEA和△ABF中

∵ ，

∴△DEA≌△ABF（AAS）

（2）证明：∵由（1）知△ABF≌△DEA，

∴DE=AB，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C=90°，DC=AB，

∴DC=DE．

∵∠C=∠DEF=90°

∴在Rt△DEF和Rt△DCF中

∴Rt△DEF≌Rt△DCF（HL）

∴∠EDF=∠CDF，

∴DF是∠EDC的平分线

【解析】（1）根据矩形性质得出∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，推出∠DAE=∠AFB，求出AF=AD，根据AAS证出即可；（2）有全等推出DE=AB=DC，根据HL证△DEF≌△DCF，根据全等三角形的性质推出即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解角平分线的性质定理的相关知识，掌握定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上，以及对矩形的性质的理解，了解矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．