Question

【题目】如果二次函数的二次项系数为1，那么此二次函数可表示为y＝x2＋px＋q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y＝x2＋2x＋3的特征数是[2，3]．

(1)若一个函数的特征数为[－2，1]，求此函数图象的顶点坐标；

(2)探究下列问题：

①若一个函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，求得到的图象对应的函数的特征数；

②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]?

Answer 1

【答案】(1) (1，0)；(2) ① [2，－3]，②见解析

【解析】试题分析：首先根据函数的特征数可以确定函数表达式为y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，所以可得出顶点坐标为：（1,0）；先根据函数的特征数写出函数的表达式，将表达式写成顶点式，然后再平移，平移时规律为左加右减，上加下减。求出平移后的函数表达式是顶点式，将顶点式化成y＝x2＋px＋q的形式，即可求得特征数；如果已知两个函数的特征数，要想知道两个函数怎么平移得到的，需先将两个函数都转化成顶点式，再根据两个函数顶点式判断平移方法。

解：(1)由题意，得y＝x2－2x＋1＝(x－1)2.

∴特征数为[－2，1]的函数图象的顶点坐标为(1，0)．

(2)①特征数为[4，－1]的函数表达式为y＝x2＋4x－1

即y＝(x＋2)2－5.

∵函数图象先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，

∴y＝(x＋2－1)2－5＋1，即y＝x2＋2x－3.

∴特征数为[2，－3]．

②特征数为[2，3]的函数表达式为y＝x2＋2x＋3，即y＝(x＋1)2＋2，

特征数为[3，4]的函数表达式为y＝x2＋3x＋4，即

y＝(x＋)2＋，

∴所求平移为：先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度(或先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度)．