Question

【题目】如图，在和中，，，，且顶点D落在的内部（包含边上），连结．当是以为腰的等腰直角三角形，则的面积为_____．

Answer 1

【答案】4或2

【解析】

根据是以为腰的等腰直角三角形，分∠ADE=90°或∠EAD=90°两种情况讨论，证明△AEC≌△BDC（SAS），求出△AEC的面积即可．

根据题意，当是以为腰的等腰直角三角形时，分∠ADE=90°或∠EAD=90°两种情况讨论，

①当∠ADE=90°时，

∵△ADE是等腰直角三角形，AD=ED，

∴∠AED=∠EAD=45°，

∵，，，

∴∠CED=∠CDE=45°，∠CAB=∠CBA=45°，ED=AD=，

∴∠ECA=∠DCB，∠AEC=∠AED+∠CED=90°，

∴△AEC≌△BDC（SAS），

∵Rt△ADE是等腰直角三角形，

∴AE=，

∴Rt△AEC的面积==×4×2=4，

∴△BDC的面积=△AEC的面积=4；

②当∠EAD=90°时，则AE=AD，此时点D落在AB上，

由①可知，Rt△AEC≌Rt△BDC（SAS），

∴Rt△AEC是等腰直角三角形，

∴AE=CE=2，

∴△AEC的面积=×2×2=2，

即△BDC的面积=△AEC的面积=2；

故答案为：4或2．