Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，OA=OB，△OAB的面积是2．

（1）求线段OB的中点C的坐标．

（2）连结AC，过点O作OE⊥AC于E，交AB于点D．

①直接写出点E的坐标．

②连结CD，求证：∠ECO=∠DCB；

（3）点P为x轴上一动点，点Q为平面内一点，以点A.C.P.Q为顶点作菱形，直接写出点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）线段OB的中点C的坐标为：（-1，0）；（2）①点E坐标为：（-，）；②详见解析；（3）点Q的坐标为：（0，-2）.（-，2）.（，2），（-，2）

【解析】

（1）由OA=OB，△OAB的面积是2，可求得OB的长度，由C为OB中点，即可得C点坐标；

（2）①过点E作EF⊥OB，由，设EF=x，借助勾股定理即可求解；②过点B作OB的垂线，交OE的延长线于点G，先证△AOC≌△OBG，再证△BGD≌△BCD，再根据等量代换可证；

（3）以点C和点A 为圆心，以为半径作圆和作AC的垂直平分线分情况讨论求解即可．

解：（1）∵OA=OB，△OAB的面积是2．

∴OAOB=2，

∴OA=OB=2，

∴线段OB的中点C的坐标为：（-1，0），

（2）①过点E作EF⊥OB，

∵∠AOC=90°，OA=2，OC=1，

∴AC=，

∵OE⊥AC，由面积法得：OE===，

∵∠EOF+∠AOE=∠EAO+∠AOE=90°，

∴∠EOF=∠EAO，

∴tan∠EOF=tan∠EAO=，设EF=x，则OF=2x，

∴由勾股定理得：，

解得：x=，2x=，

∴点E坐标为：（-，）．

②证明：过点B作OB的垂线，交OE的延长线于点G，由（2）①可知，∠EOF=∠EAO，

∴在△AOC和△OBG中，

∴△AOC≌△OBG（ASA），

∴∠ECO=∠BGD，BG=OC，

∵C为线段OB的中点，

∴BG=BC，

∵OA=OB，∠AOC=∠OBG=90°，

∴∠GBD=∠CBD=45°，

∴在△BGD和△BCD中，

∴△BGD≌△BCD（SAS）

∴∠DCB=∠BGD，

又∠ECO=∠BGD，

∴∠ECO=∠DCB．

（3）∵AC=，

∴以点A为圆心，以为半径作圆，与x轴可得一个交点P1（1，0），从而得Q1（0，-2）；

∴以点C为圆心，以为半径作圆，与x轴可得两个交点P2（-，0），P3（，0），从而得Q2（-，2），Q3（，2），

由tan∠ACO=2，可知，

当以AC为菱形的对角线时，AC被另一条对角线垂直平分，

，从而另一条对角线P4Q4的一半为，从而P4C=，

∴P4（，0），Q4（-，2）

综上，点Q的坐标为：（0，-2）．（-，2）．（，2），（-，2）．